ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส : เรขาคณิต
ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ใน เรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีนี้ ถูกตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่พีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก แม้ว่าความจริงแล้ว ทฤษฎีได้มีการคิดค้นไว้ก่อนหน้าที่เขาจะมีชีวิตอยู่ โดยชาว อินเดีย, ชาวกรีก, ชาวจีน และ ชาวบาบิโลน
ทฤษฎีบท
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า
- "ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประชิดมุมฉากทั้งสอง จะเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"
จากรูป จะสังเกตว่า ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินและสีแดง จะเท่ากับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีม่วง เราสามารถเขียนทฤษฎีบทนี้ให้อยู่ในรูป สมการ
c2 = a2 + b2
โดยที่ a และ b เป็นความยาวด้านประชิดมุมฉากทั้งสองของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
วิธีการพิสูจน์อีกแบบแสดงได้ดังรูปด้านล่าง
ความรู้เบื้องต้น เรื่อง ทฤษฎีพีทาโกรัส
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื้อหาบทเรียน: ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก
 |
จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งที่มีมุม C เป็นมุมฉากเรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียก AC และ BC ว่า ด้านประกอบมุมฉากในจำนวนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด |
 |
โดยทั่วไปนิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B, c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม Cจากรูป c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 5 หน่วยa,b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 3 หน่วย และ 4 หน่วย |
 |
เมื่อสร้างจัตุรัสบนด้านทั้งสามดังรูป |
|
|
|||
| จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เขียนเป็นรูปภาพได้ ดังนี้ | |||
|
|
|||
|
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามของมุมฉาก |
|||
| ประโยคสัญลักษณ์จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส | |||
| นั่นคือ ที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก | |||
| พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน c เท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน a รวมกับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน b | |||
| จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากข้างบนและทฤษฎีบทพีทาโกรัส เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ ได้ว่า | |||
| c2 = a2 + b2 | |||
| c2 คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ c หน่วย | |||
| a2 คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ a หน่วย | |||
| b2 คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ b หน่วย | |||
| พิสูจน์ | |||
| แสดงให้เห็นจริงว่าพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับผลรวมของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก |
|||
 |
|||
| จากรูป เมื่อ CLICK จะเห็นว่า | |||
| 1. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส | |||
| |
|||
| มีความยาวด้านละ a+b | |||
| และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส | |||
 |
|||
| มีความยาวด้านละ c ซึ่งมีพื้นที่ เท่ากับ c2 | |||
| 2. เมื่อนำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้ง 4 รูปมารวมกัน | |||
 |
|||
| จะเหลือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม มีพื้นที่ เท่ากับ a2 + b2 | |||
 |
|||
| 3. แสดงว่า | |||
| พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม | |
เท่ากับ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม | |
| 4. นั่นคือ | |||
| พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับผลรวมของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก |
|||
|
|
|||
| c2 = a2 + b2 | |||
| ถ้า c2 คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ c หน่วย ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก | |||
| a2 คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ a หน่วย ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก | |||
| b2 คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ b หน่วย ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก | |||
| กิจกรรม | |||
| จากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อกำหนด ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก |
|||
|
|
|||
| 1. a = 12 b = 5 | |||
| 2. a = 12 b = 9 | |||
| 3. a = 4 b = 3 | |||
| 4. a = 49 b = 9 | |||
| 5. a = 8 b = 6 | |||
http://blog.eduzones.com
http://pirun.kps.ku.ac.th/
http://www.bangkapi.ac.th