ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

26 กพ. 56     2172

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือ 

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส : เรขาคณิต

ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ใน เรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีนี้ ถูกตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่พีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก แม้ว่าความจริงแล้ว ทฤษฎีได้มีการคิดค้นไว้ก่อนหน้าที่เขาจะมีชีวิตอยู่ โดยชาว อินเดีย, ชาวกรีก, ชาวจีน และ ชาวบาบิโลน

วิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสของเลโอนาร์โด ดา วินชี

 
วิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสของเลโอนาร์โด ดา วินชี

 

ทฤษฎีบท

          ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า

"ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประชิดมุมฉากทั้งสอง จะเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"

ภาพ:Pythagorean.svg

          จากรูป จะสังเกตว่า ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินและสีแดง จะเท่ากับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีม่วง เราสามารถเขียนทฤษฎีบทนี้ให้อยู่ในรูป สมการ

c2 = a2 + b2

          โดยที่ a และ b เป็นความยาวด้านประชิดมุมฉากทั้งสองของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

          วิธีการพิสูจน์อีกแบบแสดงได้ดังรูปด้านล่าง

ภาพ:Pythagorean_proof.png

 


ความรู้เบื้องต้น เรื่อง ทฤษฎีพีทาโกรัส

 

 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื้อหาบทเรียน: ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก 

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งที่มีมุม C เป็นมุมฉากเรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียก AC และ BC ว่า ด้านประกอบมุมฉากในจำนวนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยทั่วไปนิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A
b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B, c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม Cจากรูป c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 5 หน่วยa,b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 3 หน่วย และ 4 หน่วย
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เมื่อสร้างจัตุรัสบนด้านทั้งสามดังรูป
1. นับตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ด้านที่ a ได้ 9ตารางหน่วยและ ด้านที่ b ได้ 16 ตารางหน่วย
2. ถ้าย้ายตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมบนด้านประกอบมุมฉาก 2 ด้าน นำมาบรรจุลงใน สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะบรรจุ ได้เต็มพอดี
3. สรุปได้ว่า สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก จะเห็นว่า 25 = 9 + 16
4.เขียนความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากและ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากได้ดังนี้ 
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
5. ความสัมพันธ์ที่ได้จากข้อ 4 เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

 

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

 
 จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เขียนเป็นรูปภาพได้ ดังนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามของมุมฉาก
เท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

 
  ประโยคสัญลักษณ์จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
 นั่นคือ    ที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 
             พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน เท่ากับ  พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน a รวมกับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน b
 
 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากข้างบนและทฤษฎีบทพีทาโกรัส  เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ ได้ว่า
 
                                                                  c2        =       a2  +  b2
 
                                c2        คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ   c   หน่วย
                                a2        คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ   a   หน่วย
                                b2        คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ   b   หน่วย
 
 พิสูจน์
               แสดงให้เห็นจริงว่าพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
               เท่ากับผลรวมของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก
 
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส      
 
               จากรูป เมื่อ CLICK จะเห็นว่า
 
               1.  รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
                                                        ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
                   มีความยาวด้านละ  a+b
                   และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
                                                       ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
                  มีความยาวด้านละ c   ซึ่งมีพื้นที่ เท่ากับ  c2
 
             2.  เมื่อนำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้ง 4 รูปมารวมกัน
                                                       ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
                  จะเหลือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม  มีพื้นที่ เท่ากับ   a2 + b2
                                                      ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
 
              3.   แสดงว่า
                   พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เท่ากับ   พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
 
               4.  นั่นคือ
                       พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
                       เท่ากับผลรวมของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

                                                                  c2         =         a2 + b2
                    ถ้า        c2        คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ   c   หน่วย ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
                                a2       คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ   a   หน่วย ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
                                b2       คือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ   b   หน่วย ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
 
  กิจกรรม
            จากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
              เมื่อกำหนด ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

             1.   a  =   12    b  =  5
  
             2.   a  =   12    b  =  9
  
             3.   a  =   4      b  =  3
  
             4.   a  =   49    b  =  9
  
             5.   a  =   8      b  =  6
  
 
Link 
http://blog.eduzones.com
http://pirun.kps.ku.ac.th/
http://www.bangkapi.ac.th