ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

26 กพ. 56 31203

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2 ข้อสอบทฤษฎีบทพีทาโกรัส พร้อมเฉลย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

 คณิตศาสตร์ ม.2 : ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า
"ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประชิดมุมฉากทั้งสอง จะเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"
ภาพ:Pythagorean.svg
จากรูป จะสังเกตว่า ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินและสีแดง จะเท่ากับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีม่วง เราสามารถเขียนทฤษฎีบทนี้ให้อยู่ในรูป สมการ
c2 = a2 + b2 โดยที่ a และ b เป็นความยาวด้านประชิดมุมฉากทั้งสองของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
วิธีการพิสูจน์อีกแบบแสดงได้ดังรูปด้านล่าง
ภาพ:Pythagorean_proof.png
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื้อหาบทเรียน: ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2 จาก รูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งที่มีมุม C เป็นมุมฉากเรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียก AC และ BC ว่า ด้านประกอบมุมฉากในจำนวนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2 โดยทั่วไปนิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A
b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B, c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม Cจากรูป c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 5 หน่วยa,b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 3 หน่วย และ 4 หน่วย
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2 เมื่อสร้างจัตุรัสบนด้านทั้งสามดังรูป
1. นับตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ด้านที่ a ได้ 9ตารางหน่วยและ ด้านที่ b ได้ 16 ตารางหน่วย
2. ถ้าย้ายตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมบนด้านประกอบมุมฉาก 2 ด้าน นำมาบรรจุลงใน สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะบรรจุ ได้เต็มพอดี
3. สรุปได้ว่า สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก จะเห็นว่า 25 = 9 + 16
4.เขียนความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากและ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากได้ดังนี้
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2
หรือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2
5. ความสัมพันธ์ที่ได้จากข้อ 4 เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส


ตัวอย่างโจทย์ปัญหา

1) โอ๊ตขี่จักรยานเพื่อกลับบ้าน โดยเริ่มออกจากโรงเรียน ไปทางทิศเหนือ 5 กิโลเมตร และไปทางทิศตะวันตกอีก 8 กิโลเมตร และมุ่งหน้าสู่ทิศเหนืออีก 10 กิโลเมตรจึงถึงบ้านพอดี จงหาว่าบ้านของโอ๊ตอยู่ห่างจากโรงเรียนเป็นระยะทางประมาณเท่าไร (เฉลย 17 กิโลเมตร)

2) ห้องนอนสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านยาว 8 เมตร ด้านกว้าง 6 เมตร จะมีเส้นทะแยงมุมยาวประมาณเท่าใด (เฉลย 10 เมตร )

3) การเดินทางไกลไปอยู่ค่ายพักแรมของนักเรียนชั้นม.2 เดินทางออกจากโรงเรียนไป ทางทิศเหนือ 10 กิโลเมตร แล้วเดินไปทางทิศตะวันตก 7 กิโลเมตร แล้วจึงเดินขึ้นไปทางเหนืออีก 14 กิโลเมตร จึงจะถึงที่พักแรม ระยะทางระหว่างที่พักแรมกับโรงเรียนอยู่ห่างกันประมาณกี่กิโลเมตร (เฉลย 25 กิโลเมตร )

4) สามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นอัตราส่วน 5:5:10สามเหลี่ยมรูปนี้จะเป็นสามเหลี่ยมชนิดใด (สามเหลี่ยมมุมป้าน)

5) ต้นไม้ต้นหนึ่งใช้ลวดผูกที่จุดซึ่งห่างจากยอด 2 ฟุต แล้วดึงมาผูกที่หลักซึ่งอยู่ห่างจากโคน ต้นไม้ 15 ฟุต ถ้าลวดยาว 25 ฟุตต้นไม้ต้นนี้สูงประมาณกี่ฟุต (เฉลย 22 ฟุต)

6)เสาธงต้นหนึ่ง ตั้งตรงอยู่ด้วยเสาข้างสองต้น ซึ่งมีน๊อตยึดติดอยู่ 2 ตัว โดยน๊อตตัวบนอยู่สูงจากพื้น 9 ฟุต นายสำราญต้องการทาสีเสาธง เขาจึงถอดน๊อต ตัวล่าง แล้วหมุนเสาธงลงมาโดยยอดเสาธงห่างจากโคนเสา 12 ฟุต จงหาว่าเสาธงต้นนี้เมื่อตั้งตรง ยอดเสาธงต้นนี้เมื่อตั้งตรง ยอดเสาธงจะห่างจากพื้นดินเท่าไร (เฉลย 24 ฟุต )

7) จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านหนึ่งยาว 7 เซนติเมตรและด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 25 เซนติเมตร (เฉลย 84 ตารางเซนติเมตร)

8)จินตหรามีที่ดินเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีด้านต่างๆ ดังนี้ BC = 10 วา CD = 5 วา AD = 26 วา อยากทราบว่าด้านที่เหลือจะยาวประมาณกี่เมตร ? (เฉลย 48 เมตร หรือ 24 วา)

9) พี่ตูนเดินทางมาทัวร์คอนเสิร์ตที่ลำปลายมาศ เข้าพักที่โรงแรมแห่งหนึ่ง ระหว่างพักผ่อนต้องการพักสายตาจึงเดินดูต้นไม้ที่มีใบสีเขียว และมองเห็นต้นมะค่าที่มีลวดผูกต่ำจากยอด 1 เมตร กับหลักไม้ เมื่อเส้นลวดยาว 15 เมตร และพี่ตูนยืนห่างจากต้นไม้ 12 เมตร อยากทราบว่าต้นไม้จากโคนถึงปลายยอดมีความสูงกี่ประมาณเมตร  (เฉลย  9 เมตร)

10) ครูยิ้มเดินทางไปทางทิศเหนือ 10 เมตร เลี้ยวซ้าย 4 เมตร เลี้ยวขวา 8 เมตร เลี้ยวซ้าย 3 เมตร เลี้ยวขวาอีก 6 เมตรจึงหยุด อยากทราบว่าจากจุดแรกจนถึงจุดสุดท้ายมีระยะทางประมาณกี่เมตร(ถ้าวัดเป็นเส้น ตรง) (เฉลย 25  เมตร)

11) ครูแป้งตัดผ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวของเส้นทแยงมุมเป็น 6 และ 8 นิ้ว อยากทราบว่าผ้าผืนนี้มีความยาวรอบรูปประมาณกี่นิ้ว (เฉลย 20 นิ้ว )

12) พี่หมวยปั่นจักรยานจากร้านส้มตำแห่งหนึ่งมุ่งหน้าไปทางเหนือ 4 กม. เลี้ยวซ้าย 6 กม. เลี้ยวขวา 4 กม.จึงถึงบ้านพี่อั๋น อยากทราบว่าบ้านพี่อั๋นกับร้านค้าห่างกันประมาณกี่กิโลเมตร(ถ้าเดินทางเป็น เส้นตรง)  (เฉลย 10 กม. )

13) ครูกลอยพาน้องอนุบาลเดินจากสนามเด็กเล่นไปทางทิศตะวันออก 10 เมตร เลี้ยวขวา 15 เมตร เลี้ยวขวาอีก 18 เมตร จึงถึงอาคารอนุบาล อยากทราบว่าระยะทางจากสนามเด็กเล่นถึงอาคารอนุบาลมีระยะทางประมาณกี่เมตร  (เฉลย 17 เมตร )

14) ครูชาญมีบันไดยาว 13 เมตร นำมาวางพาดผนังโดยให้ฐานบันไดกับผนังห่างกัน 5 เมตร อยากทราบว่าปลายบันไดอีกข้างจะสูงจากพื้นประมาณกี่เมตร (เฉลย 12 เมตร )

15) น้องปลานิลตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทะแยงมุมเท่ากับ 26 ซม. มีด้านยาวเท่ากับ 24 ซม. อยากทราบว่าจะมีความกว้างประมาณกี่ซม. (เฉลย 10 ซม. )

16) ครูเจษวัดหน้าจอคอมพิวเตอร์มีความกว้างเท่ากับ 9 นิ้ว ความยาว 12 นิ้ว อยากทราบว่าจะมีเส้นทะแยงมุมยาวประมาณเท่าใด (เฉลย 15 นิ้ว )

17) ครูเส็งยืนอยู่บนระเบียงบ้านสูง 10.30 เมตร (ครูเส็งสูง 170 ซม.)มองมาที่พื้นดินเห็นกบ 1 ตัวถ้ากบตัวนั้นอยู่ห่างจากบ้าน 5 เมตร อยากทราบว่าระยะทางระหว่างสายตาของครูเส็ง กับกบห่างกันประมาณกี่เมตร (เฉลย 13 เมตร)

18) ครูนครเดินทางไปซื้อเครื่องดนตรีที่ร้านแห่งหนึ่ง และถูกใจเปียโนมาก พนักงานขายบอกว่าเปียโนมีความกว้าง 157 ซม. ยาว 227 ซม.ครูนครอยากทราบว่ามีเส้นทะแยงมุมเท่าไร พนักงานขายตอบครูนครว่าไม่ทราบ เด็กๆช่วยพนักงานขายหน่อยนะครับว่าเท่ากับเท่าไร  (คำนวณเองนะครับ)

19)ไม้กวาดหยากไย่ด้ามหนึ่งวางพาดผนังที่ มีความสูง 15 เมตร ห่างจากพื้น 8 เมตร อยากทราบว่าไม้กวาดนี้มีความยาวประมาณเท่าใด (เฉลย 17 เมตร)

20) นายแดงมีที่ดินแปลงหนึ่งดังรูป และประกาศขายตารางเมตรละ 100 บาท อยากทราบว่าคิดเป็นเงินเท่าไร (เฉลย 24,600 บาท)  โจทย์ซับซ้อน คิดได้หลายวิธี



ลองคิดดูนะครับโจทย์ปัญหาเหล่านี้ไม่ยากถ้าคิดไม่ออกให้วาดภาพก่อนแล้วจะเห็นความสัมพันธ์

เลขชุดพีทาโกรัสที่เป็นจำนวนเต็ม (เคล็ดลับพิเศษ)

วันนี้ขอนำ เลขชุดพีทาโกรัสที่เป็นจำนวนเต็ม ที่พบบ่อยมากๆมานำเสนอให้รู้จัก เช่น
1. 3,4,5
2. 5,12,13
3. 7,24,25
4. 8,15,17
5. 9,40,41
6. 11,60,61
7. 12,35,37
8. 20,21,29
และข้อสังเกตง่ายๆ เกี่ยวกับตัวเลขที่พบบ่อยในการคิดคำนวณ ซึ่งจากการสังเกตพบว่ามีความเกี่ยวโยงสัมพันธ์กันซึ่งน่าจะเป็นประโยชน์ต่อ ทั้งผู้เรียนและผู้สอนในกรณีที่ต้องการตั้งโจทย์เอง หรือต้องการย่นเวลาในการทำข้อสอบ เช่น ชุดตัวเลขจำนวนเต็มที่เห็นข้างล่างนี้ล้วนเป็นเลขชุดพีทาโกรัสที่เป็นจำนวน เต็ม
 (3,4,5)   (6,8,10)   (9,12,15)   (12,16,20)   (15,20,25)   (18,24,30)  และต่อเนื่องไปเรื่อยๆครับ
น้องๆสังเกตดูชุดตัวเลขเหล่านี้ก็จะเห็นความสัมพันธ์ใช่ไหมครับว่าชุดตัวเลขที่ยกมาให้ดูนี้เกิดจากการนำจำนวนเต็มมาคูณ เช่น 
(3,4,5)x2  = (6,8,10)
(3,4,5)x3  = (9,12,15)
(3,4,5)x4  = (12,16,20)
(3,4,5)x5  = (15,20,25)
(3,4,5)x6  = (18,24,30)
 ชุดตัวเลขอื่นๆก็ล้วนมีความสัมพันธ์แบบนี้เช่นกัน อย่าพึ่งเชื่อจนกว่าจะได้ลองพิสูจน์เองนะครับ

แต่เบื้องต้นก็ควรที่จะมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยนะครับ 

ขอให้ทุกคนมีความสุขกับการเรียนนะครับ

 

 

ข้อสอบทฤษฎีบทพีทาโกรัส พร้อมเฉลย

 

ทฤษฎี บทพีทาโกรัสนี้ ง่ายมากๆครับ และสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาได้ตลอด และชอบออกข้อสอบ o-net เท่าที่ติดตามออกทุกปีครัับ ฉนั้นต้องเข้าใจและต้องทำโจทย์เยอๆครับ

ถ้าแปลเป็นภาษาพูดง่ายๆ ของทฤษฎีนี้ก็คือ  ด้านตรงข้ามมุมยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองบวกกัน ครับ   มาดูตัวอย่างการนำไปใช้กันครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ

จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน  นั่นคือ

c2=a2+b2

จากรูป  a=4 , b=3  หาค่าของ c ครับ

จะได้ว่า

c2=42 + 32

=16 + 9

= 25

นั่นคือ c2=25

ดังนั้น c=5

ตอบ c ยาว 5 หน่วย

 

ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

 

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ

จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน d

นั่นคือ

d2= 72+242

d2= 49+576

d2=625

d=25

ตอบ d ยาว 25 หน่วย


ตัวอย่างที่ 3 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ

จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน c

นั่นคือ

c2=52+122

c2=25+144

c2=169

c=13

ตอบ c ยาว  13 หน่วย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

 

ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่ารูปที่กำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นเราสามารถใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสหาความยาวของสามเหลี่ยมนี้ได้ครับ

จากรูปจะได้ว่า

AB2=AC2+BC2

AB2=82+152

AB2=64+225

AB2=289

AB=17

ดังนั้น AB ยาว 17 หน่วยครับ

ตอบ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว  17 หน่วย

 

ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านที่เหลื่อของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.2

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่า

ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ PR ยาว 15 หน่วย

ด้าน QR ยาว 12 หน่วย

ต้องหาความยาวของ PQ

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมุมฉาก ดังนั้น สามารถหาความที่เหลือโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คือ  ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง = ด้านที่เหลื่อยกกำลังสองแล้วนำมาบวกกัน

นั่นคือ

PR2=QR2+PQ2

แทนค่าความยาวตามที่โจทย์กำหนดให้ลงไปเลยครับ จะได้

152=122+PQ2 แก้สมการเพื่อหาค่า PQ คับ จะได้

PQ2=152-122

PQ2=225-144

PQ2=81

PQ=9

นั่นคือ PQ ยาว 9 หน่วย

ตอบ ความยาวของด้านที่เหลือคือด้าย PQ ยาว  9  หน่วย