ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

26 กพ. 56     50352

 

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2 แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

 

 คณิตศาสตร์ ม.2 : ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า
"ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประชิดมุมฉากทั้งสอง จะเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"
ภาพ:Pythagorean.svg
จากรูป จะสังเกตว่า ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินและสีแดง จะเท่ากับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีม่วง เราสามารถเขียนทฤษฎีบทนี้ให้อยู่ในรูป สมการ
c2 = a2 + b2 โดยที่ a และ b เป็นความยาวด้านประชิดมุมฉากทั้งสองของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
วิธีการพิสูจน์อีกแบบแสดงได้ดังรูปด้านล่าง
ภาพ:Pythagorean_proof.png
สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื้อหาบทเรียน: ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2 จาก รูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งที่มีมุม C เป็นมุมฉากเรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียก AC และ BC ว่า ด้านประกอบมุมฉากในจำนวนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ยาวที่สุด
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2 โดยทั่วไปนิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A
b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B, c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม Cจากรูป c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 5 หน่วยa,b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งมีความยาว 3 หน่วย และ 4 หน่วย
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2 เมื่อสร้างจัตุรัสบนด้านทั้งสามดังรูป
1. นับตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ด้านที่ a ได้ 9ตารางหน่วยและ ด้านที่ b ได้ 16 ตารางหน่วย
2. ถ้าย้ายตารางเล็กๆในสี่เหลี่ยมบนด้านประกอบมุมฉาก 2 ด้าน นำมาบรรจุลงใน สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะบรรจุ ได้เต็มพอดี
3. สรุปได้ว่า สามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก จะเห็นว่า 25 = 9 + 16
4.เขียนความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากและ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากได้ดังนี้
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2
หรือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2
5. ความสัมพันธ์ที่ได้จากข้อ 4 เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส


ตัวอย่างโจทย์ปัญหา

1) โอ๊ตขี่จักรยานเพื่อกลับบ้าน โดยเริ่มออกจากโรงเรียน ไปทางทิศเหนือ 5 กิโลเมตร และไปทางทิศตะวันตกอีก 8 กิโลเมตร และมุ่งหน้าสู่ทิศเหนืออีก 10 กิโลเมตรจึงถึงบ้านพอดี จงหาว่าบ้านของโอ๊ตอยู่ห่างจากโรงเรียนเป็นระยะทางประมาณเท่าไร (เฉลย 17 กิโลเมตร)

2) ห้องนอนสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านยาว 8 เมตร ด้านกว้าง 6 เมตร จะมีเส้นทะแยงมุมยาวประมาณเท่าใด (เฉลย 10 เมตร )

3) การเดินทางไกลไปอยู่ค่ายพักแรมของนักเรียนชั้นม.2 เดินทางออกจากโรงเรียนไป ทางทิศเหนือ 10 กิโลเมตร แล้วเดินไปทางทิศตะวันตก 7 กิโลเมตร แล้วจึงเดินขึ้นไปทางเหนืออีก 14 กิโลเมตร จึงจะถึงที่พักแรม ระยะทางระหว่างที่พักแรมกับโรงเรียนอยู่ห่างกันประมาณกี่กิโลเมตร (เฉลย 25 กิโลเมตร )

4) สามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นอัตราส่วน 5:5:10สามเหลี่ยมรูปนี้จะเป็นสามเหลี่ยมชนิดใด (สามเหลี่ยมมุมป้าน)

5) ต้นไม้ต้นหนึ่งใช้ลวดผูกที่จุดซึ่งห่างจากยอด 2 ฟุต แล้วดึงมาผูกที่หลักซึ่งอยู่ห่างจากโคน ต้นไม้ 15 ฟุต ถ้าลวดยาว 25 ฟุตต้นไม้ต้นนี้สูงประมาณกี่ฟุต (เฉลย 22 ฟุต)

6)เสาธงต้นหนึ่ง ตั้งตรงอยู่ด้วยเสาข้างสองต้น ซึ่งมีน๊อตยึดติดอยู่ 2 ตัว โดยน๊อตตัวบนอยู่สูงจากพื้น 9 ฟุต นายสำราญต้องการทาสีเสาธง เขาจึงถอดน๊อต ตัวล่าง แล้วหมุนเสาธงลงมาโดยยอดเสาธงห่างจากโคนเสา 12 ฟุต จงหาว่าเสาธงต้นนี้เมื่อตั้งตรง ยอดเสาธงต้นนี้เมื่อตั้งตรง ยอดเสาธงจะห่างจากพื้นดินเท่าไร (เฉลย 24 ฟุต )

7) จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านหนึ่งยาว 7 เซนติเมตรและด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 25 เซนติเมตร (เฉลย 84 ตารางเซนติเมตร)

8)จินตหรามีที่ดินเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีด้านต่างๆ ดังนี้ BC = 10 วา CD = 5 วา AD = 26 วา อยากทราบว่าด้านที่เหลือจะยาวประมาณกี่เมตร ? (เฉลย 48 เมตร หรือ 24 วา)

9) พี่ตูนเดินทางมาทัวร์คอนเสิร์ตที่ลำปลายมาศ เข้าพักที่โรงแรมแห่งหนึ่ง ระหว่างพักผ่อนต้องการพักสายตาจึงเดินดูต้นไม้ที่มีใบสีเขียว และมองเห็นต้นมะค่าที่มีลวดผูกต่ำจากยอด 1 เมตร กับหลักไม้ เมื่อเส้นลวดยาว 15 เมตร และพี่ตูนยืนห่างจากต้นไม้ 12 เมตร อยากทราบว่าต้นไม้จากโคนถึงปลายยอดมีความสูงกี่ประมาณเมตร  (เฉลย  9 เมตร)

10) ครูยิ้มเดินทางไปทางทิศเหนือ 10 เมตร เลี้ยวซ้าย 4 เมตร เลี้ยวขวา 8 เมตร เลี้ยวซ้าย 3 เมตร เลี้ยวขวาอีก 6 เมตรจึงหยุด อยากทราบว่าจากจุดแรกจนถึงจุดสุดท้ายมีระยะทางประมาณกี่เมตร(ถ้าวัดเป็นเส้น ตรง) (เฉลย 25  เมตร)

11) ครูแป้งตัดผ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวของเส้นทแยงมุมเป็น 6 และ 8 นิ้ว อยากทราบว่าผ้าผืนนี้มีความยาวรอบรูปประมาณกี่นิ้ว (เฉลย 20 นิ้ว )

12) พี่หมวยปั่นจักรยานจากร้านส้มตำแห่งหนึ่งมุ่งหน้าไปทางเหนือ 4 กม. เลี้ยวซ้าย 6 กม. เลี้ยวขวา 4 กม.จึงถึงบ้านพี่อั๋น อยากทราบว่าบ้านพี่อั๋นกับร้านค้าห่างกันประมาณกี่กิโลเมตร(ถ้าเดินทางเป็น เส้นตรง)  (เฉลย 10 กม. )

13) ครูกลอยพาน้องอนุบาลเดินจากสนามเด็กเล่นไปทางทิศตะวันออก 10 เมตร เลี้ยวขวา 15 เมตร เลี้ยวขวาอีก 18 เมตร จึงถึงอาคารอนุบาล อยากทราบว่าระยะทางจากสนามเด็กเล่นถึงอาคารอนุบาลมีระยะทางประมาณกี่เมตร  (เฉลย 17 เมตร )

14) ครูชาญมีบันไดยาว 13 เมตร นำมาวางพาดผนังโดยให้ฐานบันไดกับผนังห่างกัน 5 เมตร อยากทราบว่าปลายบันไดอีกข้างจะสูงจากพื้นประมาณกี่เมตร (เฉลย 12 เมตร )

15) น้องปลานิลตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทะแยงมุมเท่ากับ 26 ซม. มีด้านยาวเท่ากับ 24 ซม. อยากทราบว่าจะมีความกว้างประมาณกี่ซม. (เฉลย 10 ซม. )

16) ครูเจษวัดหน้าจอคอมพิวเตอร์มีความกว้างเท่ากับ 9 นิ้ว ความยาว 12 นิ้ว อยากทราบว่าจะมีเส้นทะแยงมุมยาวประมาณเท่าใด (เฉลย 15 นิ้ว )

17) ครูเส็งยืนอยู่บนระเบียงบ้านสูง 10.30 เมตร (ครูเส็งสูง 170 ซม.)มองมาที่พื้นดินเห็นกบ 1 ตัวถ้ากบตัวนั้นอยู่ห่างจากบ้าน 5 เมตร อยากทราบว่าระยะทางระหว่างสายตาของครูเส็ง กับกบห่างกันประมาณกี่เมตร (เฉลย 13 เมตร)

18) ครูนครเดินทางไปซื้อเครื่องดนตรีที่ร้านแห่งหนึ่ง และถูกใจเปียโนมาก พนักงานขายบอกว่าเปียโนมีความกว้าง 157 ซม. ยาว 227 ซม.ครูนครอยากทราบว่ามีเส้นทะแยงมุมเท่าไร พนักงานขายตอบครูนครว่าไม่ทราบ เด็กๆช่วยพนักงานขายหน่อยนะครับว่าเท่ากับเท่าไร  (คำนวณเองนะครับ)

19)ไม้กวาดหยากไย่ด้ามหนึ่งวางพาดผนังที่ มีความสูง 15 เมตร ห่างจากพื้น 8 เมตร อยากทราบว่าไม้กวาดนี้มีความยาวประมาณเท่าใด (เฉลย 17 เมตร)

20) นายแดงมีที่ดินแปลงหนึ่งดังรูป และประกาศขายตารางเมตรละ 100 บาท อยากทราบว่าคิดเป็นเงินเท่าไร (เฉลย 24,600 บาท)  โจทย์ซับซ้อน คิดได้หลายวิธี



ลองคิดดูนะครับโจทย์ปัญหาเหล่านี้ไม่ยากถ้าคิดไม่ออกให้วาดภาพก่อนแล้วจะเห็นความสัมพันธ์

เลขชุดพีทาโกรัสที่เป็นจำนวนเต็ม (เคล็ดลับพิเศษ)

วันนี้ขอนำ เลขชุดพีทาโกรัสที่เป็นจำนวนเต็ม ที่พบบ่อยมากๆมานำเสนอให้รู้จัก เช่น
1. 3,4,5
2. 5,12,13
3. 7,24,25
4. 8,15,17
5. 9,40,41
6. 11,60,61
7. 12,35,37
8. 20,21,29
และข้อสังเกตง่ายๆ เกี่ยวกับตัวเลขที่พบบ่อยในการคิดคำนวณ ซึ่งจากการสังเกตพบว่ามีความเกี่ยวโยงสัมพันธ์กันซึ่งน่าจะเป็นประโยชน์ต่อ ทั้งผู้เรียนและผู้สอนในกรณีที่ต้องการตั้งโจทย์เอง หรือต้องการย่นเวลาในการทำข้อสอบ เช่น ชุดตัวเลขจำนวนเต็มที่เห็นข้างล่างนี้ล้วนเป็นเลขชุดพีทาโกรัสที่เป็นจำนวน เต็ม
 (3,4,5)   (6,8,10)   (9,12,15)   (12,16,20)   (15,20,25)   (18,24,30)  และต่อเนื่องไปเรื่อยๆครับ
น้องๆสังเกตดูชุดตัวเลขเหล่านี้ก็จะเห็นความสัมพันธ์ใช่ไหมครับว่าชุดตัวเลขที่ยกมาให้ดูนี้เกิดจากการนำจำนวนเต็มมาคูณ เช่น 
(3,4,5)x2  = (6,8,10)
(3,4,5)x3  = (9,12,15)
(3,4,5)x4  = (12,16,20)
(3,4,5)x5  = (15,20,25)
(3,4,5)x6  = (18,24,30)
 ชุดตัวเลขอื่นๆก็ล้วนมีความสัมพันธ์แบบนี้เช่นกัน อย่าพึ่งเชื่อจนกว่าจะได้ลองพิสูจน์เองนะครับ

 

 

แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในแบบฝึกหัด นี้มีโจทย์การประยุกต์ใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส หลากหลายรูปแบบ

ง่ายต่อการศึกษาและทำความเข้าใจ

 

                                        ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

&NR=1

 

 

1.

 

 

 

กล่องบรรจุนมสดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กว้าง 3.5 เซนติเมตร

ยาว 5 เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร ผู้ผลิตต้องการติด

หลอดดูดชนิดตรง แนบกับกล่อง โดย ไม่ให้หลอดดูดยาว

พ้นกล่อง เขาจะใช้หลอดดูดได้ยาวกี่เซนติเมตร



       ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

      ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

วิธีทำ   ต้องการหลอดให้อยู่ในแนวเส้นทแยงมุมคือ c  ได้

จากทฤษฎีบทพีทาโกลัส

                  ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

เขาจะใช้หลอดดูดได้ยาว     13  เซนติเมตร



2.

 

 

 

 

 

 

จากแผนผังกำหนดตำแหน่ง ที่ตั้งบ้านของแสงดาว ตลาดและโรงเรียน

เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตลาดอยู่ห่างจากบ้านแสงดาว

1.8 กิโลเมตร และอยู่ห่างจากโรงเรียน 2.4 กิโลเมตร ทุก ๆวัน

 

หลังเลิกเรียน แสงดาว จะต้องขี่จักรยาน ไปแวะซื้อกับข้าวที่ตลาด

ก่อนกลับบ้าน  แต่ในตอนเช้าแสงดาวจะขี่จักรยานตรงไปโรงเรียน

โดยไม่ผ่านตลาด จงหาว่าแต่ละวันแสงดาวขี่จักรยานเป็น

ระยะทางกี่กิโลเมตร



วิธีทำ

จากทฤษฎีบทพีทาโกลัส   หาด้าน c  ดังรูป

     ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

                   ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

 ได้ระยะทางจากบ้านไปโรงเรียน  =   2.68 กิโลเมตร

แต่ละวันแสงดาวเดินทางเท่ากับ เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2


3.

 

จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านหนึ่งยาว 7 เซนติเมตร

และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 25 เซนติเมตร



      ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

วิธีทำ    จากทฤษฎีบทพีทาโกลัส

               ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

ได้ส่วนสูงเท่ากับ   24  เซนติเมตร

พื้นที่  Δ   =  ½  x ฐาน x  สูง

                =  ½ x  7 x  24

                =  84  ตารางเซนติเมตร

 


4.

 

 

กำหนดให้ Δ ABC รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตั้งฉากกับ AB

ที่จุด D

AC = 15 หน่วย และ  BC  = 8 หน่วย  จงหา



1) ความยาวของ  AB

 จากทฤษฎีบทพีทาโกลัส

               ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

   AB  =  17   หน่วย

 



2) พื้นที่ของ  Δ ABC

พื้นที่· Δ·· =· ½· x ฐาน x· สูง

                 = ½  x 8  x 15

                 =   60  ตารางหน่วย



3) ความยาวของ CD

 





5.

 

 

ต้นไม้ต้นหนึ่งใช้ลวดผูกที่จุดซึ่งห่างจากยอด 2 ฟุต แล้วดึงมา

ผูกที่หลักซึ่งอยู่ห่างจากโคน ต้นไม้ 15 ฟุต ถ้าลวดยาว 25 ฟุต

ต้นไม้ต้นนี้สูงกี่ฟุต



วิธีทำ    ต้องการหาความสูงของต้นไม้ จากโจทย์เราจะได้

    ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

จากทฤษฎีบทพีทาโกลัส

                ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

   ได้ความสูงของต้นไม้จากพื้นถึงจุดที่ผูกลวดไว้เท่ากับ 20 ฟุต

ความสูงของต้นไม้จากจุดที่ผูกลวดไปถึงยอดเท่ากับ  2 ฟุต

ความสูงต้นไม้คือ  20  +  2  =  22  ฟุต

 


6.

 

บันไดยาว 6.5 เมตร วางพิงผนังตึกให้เชิงบันไดห่างจากผนัง

2.5 เมตร



 

1)  อยากทราบว่าปลายบนของบันไดอยู่สูงจากพื้นกี่เมตร

วิธีทำ   เราต้องการหาความสูงจากพื้น ถึงปลายของบันได

      ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

                ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

ปลายบนของบันไดอยู่สูงจากพื้น     6 เมตร

 



2)  ถ้าต้องการพิงบันไดให้ปลายบันไดอยู่สูงกว่าพื้นไม่ถึง  6 เมตร

ควรวางเชิงบันไดห่างจากผนังตึกมากกว่า หรือน้อยกว่า 2.5 เมตร

จากข้อ 1 เราทราบว่าบันไดสูงจากพื้น 6 เมตร ต้องวางห่างจากผนัง

2.5 เมตร ดังนั้น ถ้าต้องการพิงบันไดให้ปลายบันไดอยู่สูงกว่า

พื้นไม่ถึง· 6 เมตร  ต้องวางห่างจากพื้นมากกว่า  2.5 เมตร

 


7.

 

 

 

 

 

เสาธงต้นหนึ่ง ตั้งตรงอยู่ด้วยเสาข้างสองต้น ซึ่งมีน๊อตยึดติดอยู่

2 ตัว โดนน๊อตตัวบนอยู่สูงจากพื้น 9 ฟุต นายสำราญต้องการ

ทาสีเสาธง เขาจึงถอดน๊อต ตัวล่าง แล้วหมุนเสาธงดังรูปโดย

ยอดเสาธงห่างจากโคนเสา 12 ฟุต จงหาว่าเสาธงต้นนี้เมื่อ

ตั้งตรง ยอดเสาธงต้นนี้เมื่อตั้งตรง ยอดเสาธงจะห่าง

จากพื้นดินเท่าไร



วิธีทำ

จากโจทย์เราวาดรูปจะได้ออกมาดังนี้

    ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

จากทฤษฎีบทพีทาโกลัส

               ทฤษฎีบทพีทาโกรัสม.2

ได้ความยาวเสาธงจากจุดหมุนถึงปลายยอดเท่ากับ  15 ฟุต

ที่เสาธงจุดหมุนอยู่สูงจากพื้นเท่ากับ 9 ฟุต

ความสูงของเสาธง =พื้นถึงจุดหมุน + จุดหมุนถึงยอดเสา

                           =   15 + 9 

                           =    24   ฟุต

 


Link 
https://www.youtube.com/
http://secoundary2.blogspot.com
http://www.goonone.com/index.php